计算机绘图——复变函数和曼德勃罗集

发表于 2023-12-15 分类于数学阅读次数：

本来，这只是一节普普通通的信息技术，直到阿梁同学跟我说：“我们来画一点有意思的吧！”

于是就有了：

复变函数

用亮度表示模长，用颜色表示辐角：

\(f(z) = exp(z)\)
\(f(z) = (2z - 1)^2(2z+1)\)
\(f(z)=\sin(z)\)

曼德勃罗集

简介：对于函数 \(f(z)=z^2+c\)，初始 \(z=0\)。我们反复地让 \(f(z) \to z\)，如果 \(z\) 最终会收敛，就在 \(z\) 对应的复平面位置标上黑色；否则在 \(z\) 的位置按照发散速度标不同颜色。

有意思的是，这是一个分形。也就是说，边界的每一处都是完整的一个图形。无限细致。有“上帝的指纹”之称。

清晰度 4096x4096。

对曼德勃罗集的修改

根据不同的函数，我们可以按照一样的方式画出图形。（我感觉还是曼德勃罗集好看）

清晰度 256x256。

\(f(z)=z^2+z+c\)

\(f(z)=z^3+c\)

最后贴一贴代码吧

（其实最终渲染换了 C++，python 还是有点慢）

from PIL import Image

N = 256

def gen(foo) :
    global N
    im = Image.new(mode='HSV', size=(N, N))
    w, h = im.size[0], im.size[1]
    pix = im.load()
    for i in range(w) :
        for j in range(h) :
            pix[i, j] = foo(i, j)
            # print(pix[i, j])
    return im

import cmath
import math
import time

scale = 1
cx, cy = 0, 0

def getc() :
    cx, cy = 0, 0
    ta = 0
    for i in range(N) :
        x = y = (i - N / 2) / N
        x, y = foo3(x, y)

        a = foo2(complex(x, y))
        if a > ta :
            cx, cy = x, y
            ta = a
    return cx, cy


def foo(x, y) :
    global N, scale, cx, cy
    tx, ty = (x - N / 2) / N, (y - N / 2) / N

    # if ((tx - cx) ** 2 + (ty - cy) ** 2 < 0.01) :
    #     return (255, 0, 0)
    tx, ty = foo3(tx, ty)

    a = foo2(complex(tx, ty))
    if a == 0 : 
        return (0, 0, 0)
    return a % 256, 255, 255

# z**2+c 发散次数
def foo2(c) :
    z = 0
    global scale
    for i in range(10000) :
        z = z ** 2 + c
        if abs(z) > 2 :
            return (i + 1)
    return 0

def foo3(x, y) :
    global scale, cx, cy
    return x / scale + cx, y / scale + cy

getc()
print(cx, cy)

for i in range(-2, 20) :
    scale = 2 ** i
    cx, cy = getc()

    im = gen(foo)
    im.show()
    # im.convert('RGB').save(time.asctime(time.localtime(time.time())) + '.png')